e

e

Definition af e

Der er en særlig base for en eksponentiel, som spiller en særlig vigtig rolle imatematikken. En måde at definere e på er med formlen for sammensat rente

A = P(1 + r/n)nt

hvor A svarer til beløbet på kontoen efter t år i en bank, der giver en årlig rente r sammensatn gange om året. Hvis n = 4, siger vi f.eks., at kontoen rentersættes kvartalsvis, og hvis n = 365, rentersættes kontoen dagligt. Jo oftere kontoen rentersættes, jo hurtigere vokser renten.

Hvis vi lader

r = 1 P =1 t = 1 og x = 1/n

, giver den sammensatte renteformel

f(x) = (1 + x)1/x

Vi kan fortolke x som den brøkdel af et år, som renterne rentesættes. Hvis denne brøk går til 0, kan vi konstruere følgende tabel:

Denne funktion ser ud til at konvergere mod et tal, som vi kalder e.

Kontinuerlig rente

For kontinuerligt sammensatte renter har vi formlen:

A = Pert

Inflation Eksempel
Med en inflationstakt på 8 % i sundhedssektoren, hvor meget vil en sundhedsforsikring så koste om 45 år, hvis jeg i øjeblikket betaler 200 dollars om måneden?

Løsning
Vi har
r = 0,08 P = 200 og t = 45
Så at

A = 200e( 0,08)(45) = 7319 $ om måneden!

Befolkningsvækstmodeller

En af de enkleste modeller for befolkningsvækst udspringer af den antagelse, at væksthastigheden er proportional med den aktuelle befolkning. Senere vil vi vise, at under denne antagelse er befolkningen Pat tidspunkt t givet ved

P = C0 ekt

hvor C0 er den oprindelige befolkning og k er en proportionalitetskonstant.

Eksempel

I 1960 blev to hundrede planter fra Europa bragt til USA med henblik på landskabspleje. Under antagelse af en eksponentiel vækst med en vækstkonstant på 0,1, hvor mange planter vil der så være i USA i år 2050?

Løsning

Vi lader t = 0 svare til året1960. Så er C0 = 200. Den eksponentielle vækstmodel giver

P = 200 e0,1t

Dernæst svarer 2050 til t = 90. Så

P(90) = 200 e(0,1)(90) = 1,620,616

Der vil være 1,620,616 af disse udenlandske anlæg i år 2050. Grafen er vist nedenfor.

Den eksponentielle model har en alvorlig fejl. Den forudsætter, at befolkningen vil fortsætte med at vokse uden hensyn til plads og næringsstoffer. En mere realistisk model vil tage højde for, at der er en bæreevne, dvs. en befolkning, som ikke kan overskrides. Denne model kaldes den logistiske sekvens og er givet ved

hvor a, b og k er positive konstanter.

Eksempel

Den menneskelige befolkning (i milliarder af mennesker) på jorden kan modelleres ved den logistiske vækstkurve

hvor t er året siden 1970. Hvor stor vil befolkningstallet være i2010? Hvad er jordens menneskelige bæreevne?

Løsning

For at bestemme befolkningstallet i 2010 kan vi se, at 2010 svarer til t = 40. Vi sætter dette t ind og bruger en lommeregner til at få

Der vil være ca. 8,8 milliarder mennesker på jorden i år2010.

For at finde bæreevnen finder vi grænsen for befolkningens størrelse, når tiden nærmer sig uendelig. Af ligningen kan vi se, at det eksponentielle udtryk går til 0, da eksponenten er negativ. Derfor er bæreevnen L